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例如，可以假设矩阵具有低秩结构，接下来试图找到最低秩的矩阵，或者，如果还原后的矩阵的秩是已知的，那么一个秩-r的矩阵会与已知数据点匹配。该图显示，可以在零错误（右侧）的条件下还原部分显示的秩1矩阵（左侧），因为所有缺少数据点的行都应与第三行相同。在Netflix问题的情况下，由于用户偏好通常可以通过少数因素来描述，例如电影类型和发行时间，因此评分矩阵会是低秩的。其他应用包括计算机成像，需要重建图像中丢失的像素，从局部距离信息中检测传感器在网络中的全局位置，以及多类学习。矩阵完成问题通常是NP-难问题，但是在其他假设下，有一些有效的算法可以以很高的概率实现精确的重构。
从统计学习的角度来看，矩阵还原问题是矩阵正则化的一种应用，矩阵正则化是向量正则化的推广。例如，在低秩矩阵还原问题中，可以应用核范数形式的正则化惩罚
矩阵还原问题的变体之一是找到最低秩矩阵匹配矩阵 ，我们希望从观测集合恢复出所有数据点。此问题的数学公式如下：
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宣武门外大街是位于中国北京市西城区中南部的一条大街，因位于北京内城宣武门外而得名。
宣武门外大街北起宣武门，与宣武门内大街、宣武门西大街、宣武门东大街衔接，南至菜市口，与菜市口大街、广安门内大街、骡马市大街衔接。宣武门为北京内城右池的城门。明朝定都北京后，将元大都南城墙南拓。明朝正统四年（1439年），修建了城楼、瓮城，并将元大都的顺承门改称“宣武门”，其下的大街称“宣武门大街”。宣武门取“宣扬武功”之意。清朝乾隆时，称“宣武门外大街”。1965年整顿地名时，沿用此名，仍称“宣武门外大街”。
清朝，宣武门是被判处决的犯人经常经过的门。秋斩时，犯人出宣武门赴菜市口就斩。据称，宣武门外大街北端箭楼下吊桥西边立有一座石碣，上书“后悔迟”三个字。
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在最早研究对称性破缺的几个物理案例中，有一个案例是研究均匀旋转的不可压缩流体处于重力与流体静力平衡所呈现出的形状。卡尔·雅可比 与稍后约瑟夫·刘维尔 分别于1834年表示，三主轴麦克劳林椭球是这问题的平衡解，当旋转流体的动能与重力能的比率超过了某临界値之时，在这分岔点，轴对称被打破，之后，动能极小化的解答为非轴对称雅可比椭球。
皮埃尔·居里对于对称性破缺做了很多研究。他表明，当某些现象发生时，原本的对称群会被降低为其子群，对称性破缺是以这方式造成了这现象。应用群论来表述，原本的对称群被降低为其子群，因此，对称性破缺可以视为原本对称群与其子群之间的变换关系。从这角度来看，在研究对称性破缺论题时，几个研究重点是，会出现哪些子群、这些子群怎样出现、这些子群出现的先决条件为何？
1972年，诺贝尔物理学奖得主 菲利普·安德森发表论文《繁是不同》（《More is different》），应用对称性破缺的点子来指出还原论的局限。
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