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以下公式说明了三角形内切圆半径 和-伪内切圆半径 的关系：
三角形内心为伪内切圆与三角形其中两边的切点和组成线段的中点。
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金国都城开封受到蒙军攻击，城内守军只有四万军士，二万壮丁，完全指望城外援军来解围。在邓州的完颜合达听说汴京危急，在1232年正月率所部骑兵二万、步兵十三万，合计十五万大军北援。蒙兵散漫而北，破略申、裕等州，所有积聚焚毁无余。金军由邓而东，无所仰给。拖雷只分兵三千人跟踪金大军，专在其食饭和宿营时挑战，弄得金军不得休息，疲惫不堪。当金军走到钧州（今河南禹州市）三峰山时，拖雷之三万兵马和窝阔台之大军均赶到三峰山拦截。此时天气突变，降下大雪，金军「僵冻无人色，几不能军(据称因蒙军中一位康里巫师的缘故)」，而来自漠北之蒙古军则习惯在寒冷气候下作战。在金已极为不利之情况下，两路蒙军围住金军，轮流休息攻杀，金军士有不食至三日者，蒙古军故意让开通往钧州之路，金军仓皇逃命，蒙古军紧紧追击，金军突围，半途被蒙军拦腰截断，大军崩溃。
完颜合达、完颜陈和尚率金军残部退至钧州城内，旋即被蒙军破城，合达战死。陈和尚不欲无名地死于乱军中，亲自来到敌营，拒降被杀。移剌蒲阿向汴京逃奔，亦为蒙军擒获，不降而死。金军最后的主力在此役溃败，损失骁将多员，「兵不复振」，亡国指日可待。
败兵逃到附近各地，如昌武军、洛阳。武仙成功逃脱，收罗十万败兵屯扎在邓州一带，「遂走南阳留山，收溃军得十万人，屯留山及威远寨。立官府，聚粮食，修器仗，兵势稍振。」1233年，被南宋孟珙多次击败，武仙本人「易服而遁」，孟珙「降其众七万人，获甲兵无算。」1234年正月，即三峰山战后两年，宋蒙联军攻陷蔡州，金亡。
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