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如果用a表示边心距，s表示边长，p表示多边形的周长，正多边形的面积可以分割成n个小三角形求和，最终结果表示为：

已知正多边形中心的情况下，边心距可通过从正多边形中心向某一边作垂线段；或连接正多边形中心和某一边的中点求得。不知中心的情况下，可以根据垂径定理，通过两条边的垂直平分线的交点来确定正多边形的中心，然后求出边心距。

边心距可以通过正多边形外接圆的半径和边长求出，如果正n边形的外切圆的半径为R边长为s，则边心距为:

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元劭承袭了父亲的爵位彭城王，他通晓武艺，年轻时有气节。魏孝明帝元诩初年，梁武帝萧衍派遣将军侵犯北魏边境，元劭上表说：“僭越的小人魂魄游动，窥伺边境，辛劳士兵很久，每天都有上千两黄金的耗费。臣上凭先人的资历，继承丰厚的俸禄，思量以微小的奉献，来辅助如山海般的开支。臣的封国在徐州，离军队很近，谨奉献九千斛粟、六百绢匹、二百国中官吏，来充作军中用度。”灵太后赞许元劭的纯正心意，没有准许元劭的请求。元劭以宗正少卿为起家官，又出任使持节、署理散骑常侍、平东将军、青州刺史。孝昌三年三月辛未（527年4月24日），齐州广川郡百姓刘钧和东清河郡百姓房须反叛，元劭派遣彭城王司马鹿悆都督青州军队前往讨伐，双方在商山交战，北魏军队屡次取胜。鹿悆军中将领统帅都是元劭身边的人，他们擅自增报首级，不合理的请求赏赐布帛，鹿悆当面坚持不给，元劭不听从。鹿悆勃然变色说：“我竭尽心智说的话，是为了王和国家，哪里是为了我鹿悆的家事。”鹿悆不辞别而出，元劭追出来向他道歉。当时梁武帝派遣将领彭群、王辩等人率领七万人马围困琅琊郡，从这年春季到秋季，北魏援军没到，而当时青州和南青州的兵马总计才一万多人，援军秋天到了郧城。长久没有前进。七月，元劭就派遣鹿悆，南青州刺史胡平派遣长史刘仁之，一起都督率领各位将军，径直前往敌军军营，大破梁军，斩下彭群的首级，俘虏割耳两千多。孝昌末年，灵太后丧失德行，四方动乱，元劭有了二心，为安丰王元延明禀告，被征召入朝担任御史中尉。

建义元年夏四月，尔朱荣率领军队抵达河内郡，派遣王相来联络元劭的弟弟元子攸，四月丙申（528年5月13日），元劭与弟弟元子攸、元子正趁夜从高诸渡过黄河，四月丁酉（528年5月14日），元子攸等人在河阳汇合尔朱荣。四月戊戌（528年5月15日），元子攸南渡黄河，登基为皇帝，元劭被封为无上王。建义元年四月庚子（528年5月17日），尔朱荣发动河阴之变，命令数十人拔刀走向魏孝庄帝元子攸行宫，魏孝庄帝与元劭、元子正一起走出帐外。尔朱荣之前派遣并州人郭罗刹、西部高车人叱列平在魏孝庄帝身边侍卫，欺骗魏孝庄帝要防备，将魏孝庄帝抱进帐，其余的人当即杀死元劭和元子正。尔朱荣进入洛阳城后，于建义元年四月壬寅（528年5月19日）上表请求追尊元劭为无上皇帝，魏孝庄帝诏令同意。永安二年四月癸未（529年4月25日），元劭被追谥孝宣皇帝。

李延寔在永安年间被任命为青州刺史，临行前去向魏孝庄帝辞行。魏孝庄帝对李延寔说：“怀砖的风俗，世上号称难以治理。舅舅应该好好用心，来满足朝廷的委托。”李延寔回答说：“臣的年纪迫近垂老，生命同于早晨的露水，人世离我越来越远，日益接近坟墓。臣已经久请休闲告退。陛下顾念舅氏，宠爱老臣，使夜里走路的罪人，在万里远处裁制美锦。我谨慎的接受明白的训斥，不敢怠慢。”当时黄门侍郎杨宽在魏孝庄帝身旁，不懂怀砖的意思，就私下询问问舍人温子升，温子升说：“我听说陛下的哥哥彭城王元劭做青州刺史，询问跟从他到青州的宾客，宾客说：‘齐地的人民，风俗浅薄，高谈空话，专心在荣华好处。太守要进入境内，齐人都怀砖对着太守磕头，用来赞美太守。等到替代太守的人来了，太守要回家，齐人就用砖头攻击他。这是说向着他和背弃他快的像翻手掌。’因此京城里的谚语说：‘监狱里没有囚犯，家里没有青州人。即便家道衰落，也不用发愁。’怀砖的意思就是这样来的。”

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在印欧学中，鲑鱼问题或鲑鱼论证（英语 salmon problem 或 salmon argument，德语 Lachsargument）是一个过时的论证，它主张将印欧人发源地置于波罗的地区，而不是欧亚大草原，理由是日耳曼语族和波罗的-斯拉夫语族中表示鲑鱼的各个词具有同样的词源。

具体理由如下：因为日耳曼语族和波罗的-斯拉夫语族中的对大西洋鲑（Salmo salar）的用词源自共同的原始印欧语词根*laḱs，所以印欧语系的发源地必须是这些语言以及鲑鱼的自然分布重叠之处，也就是北中欧。该论点最早由德国语言学家奥托·施拉德于1883年提出。在整个19世纪末和20世纪初，尤其是在德国学术界，这一论点一直受到学术界的持续讨论。

1953年，德国印欧学家保罗·蒂姆提出，在高加索地区发现的 *laḱs 的衍生词描述的其实是褐鳟（Salmo trutta）而不是大西洋鲑。美国语言学家乔治·谢尔曼·莱恩在1970年的会议论文中表示赞同：“在我看来，该名称最初确实根本不是指大西洋鲑，而是指西北高加索地区的大不列颠鳟。” 这为坟冢假说提供了支持。

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