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黎曼几何中，指数映射（exponential map）是由某（伪）黎曼流形切空间的子集，到本身的映射。（伪）黎曼度量对应某个典范仿射联络，而（伪）黎曼流形的指数映射就是这个联络的指数映射。直观理解，由起点出发，以拣选切向量为速度，沿流形上的「直线」行单位时间，到达的终点就是。

设为微分流形，为上一点。利用上的仿射联络，可以定义过点的测地线。

设为于点的切向量，则独有一条测地线满足，而初始切向量为。对应的指数映射由

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灰冠橙腹叶鹎（学名：Chloropsis lazulina），又称橙腹叶鹎，为叶鹎科叶鹎属的鸟类。原产于中国南部至越南南部，指名亚种lazulina是海南岛的特有亚种，而另一个亚种melliana分布在其它地区。分布于喜马拉雅山脉到西藏东南部、云南、老挝北部和马来半岛的黄冠橙腹叶鹎（C. hardwickii）以前被认为与它是同一种。

灰冠橙腹叶鹎体重约32.29克，翼长约93.6毫米，Culmen (bird)长约24.7毫米，喙宽度约4.6毫米，喙厚度约5.4毫米，跗跖长约17.6毫米，尾长约71.4毫米。灰冠橙腹叶鹎是候鸟，其栖息在密集的灌木丛中，食性为杂食性。

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「很多人都说让没有意愿的人计入代表的计算是不正当的……他们是人，虽然因身为奴隶的条件而被降级。他们是知道其所居住之州份的地方性法规的人，同时他们也知道大自然的规律。但代表权和赋税相互配合……难道这正好施加了一个奇特的负担，却没因此授予某些适当足够的优势？」－亚历山大·汉密尔顿

五分之三的比例，或称「联邦比例」，对内战爆发前之蓄奴州选民比例相对过高的政治事务产生重大影响。举例来说，如果席次是由自由人口数所分配，那么1793年南方蓄奴州在众议院本应分有33席的代表，而其却分得了47席。1812年，蓄奴州有76席而非59席；1833年则是98席而非73席。结果，在内战爆发前的这段时间，南方人主导了总统选举、众议院议长人选和最高法院。

历史学家Garry Wills曾推测，若去掉蓄奴州多出来的选票，那么杰佛逊将会输掉1800年美国总统选举。还有「密苏里州将不实行奴隶制……杰克逊的印地安人迁移政策将无法通过……Wilmot Proviso将会禁止在从墨西哥赢来的领土上实行奴隶制……内布拉斯加法案将无法通过」等。然而，其他的历史学家批评威尔斯的分析太过简单。举例来说，虽然五分之三妥协可以被看成是有利于南方州份（因其普遍有较多的奴隶人口），但是康乃狄克妥协倾向对于北方的州份有利（因其普遍规模较小）。这使得新宪法得以满足这些局部利益的平衡。

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